FocusonPCB - Vicenza, 15-16 maggio 2024
Torna a Vicenza il 15 e 16 maggio 2024 Focus on PCB, la terza edizione della fiera dedicata all'intera filiera dei circuiti stampati. Nata dalla volontà del Gruppo PCB Assodel…
Per determinare la posizione del ricevitore, le posizioni di tutti i satelliti devono essere inizialmente determinate. Secondo la seconda legge di Newton, la forza di gravità esercitata dalla massa M della Terra su un satellite di massa m ad una distanza r è pari a:
(3)
dove G è la costante di gravitazione universale, r la distanza tra i centro di gravità della Terra ed il satelliti in un sistema inerziale di coordinate xyz ortonormali centrate nella Terra (ECI, Earth-Centered Inertial) i cui assi x e y non ruotano con la Terra.
Nell’equazione vettoriale (3) r è il modulo di r. La trasformazione delle equazioni differenziali dal sistema di coordinate ECI al sistema di coordinate del ricevitore che ruota assieme alla Terra e viene anche indicato come sistema centrato nella Terra e solidale con la Terra (ECEF, Earth-Centered, Earth-Fixed), è semplicemente una rotazione.
L’equazione (3) dovrebbe essere ruotata dal sistema ECI al ECEF per ottenere un’equazione differenziale che può essere usata per calcolare le coordinate del satellite nel sistema di coordinate ECEF del ricevitore. Solo allora il generico concetto della triangolazione funziona correttamente.
Il sistema di coordinate ECI è centrato nel centro di gravità della Terra. Si assume che il piano xy coincida con il piano equatoriale della Terra. Come descritto in [1] (sezione 6), il sistema ECI del GPS usa l’orientazione del piano dell’equatore alle ore 12:00 UTC del 1 Gennaio 2000. L’asse x è fissato nella direzione dell’equinozio di primavera (vedi Figura 5). L’asse z è ortogonale al piano xy.
Il sistema ECEF invece è il sistema di coordinate usato per calcolare la posizione del ricevitore poiché esso ruota assieme alla Terra. L’asse x punta nella direzione della longitudine 0°. Quindi, la trasformzione tra ECI e ECEF è una rotazione del piano xy. L’angolo di rotazione si ricava in ogni istante dal tempo siderale della Terra.
Il vettore accelerazione a nell’equazione (3) è la derivata seconda di r. Di conseguenza l’equazione differenziale dei due corpi che descrive il moto nel sistema ECI è:
(4)
Dove d2/dt2 è l’operatore derivata seconda. Si può mostrare come la soluzione dell’equazione (4) sia un’ellisse il cui fuoco è situato nel centro di gravità della Terra (vedi Figura 6).
La vera anomalia υ rappresentara l’angolo del satellite nella sua orbita rispetto al perigeo, ovvero il punto dell’orbita la cui distanza dalla Terra è minima. Il semiasse maggiore a dell’orbita e l’eccencitricità e definiscono la forma dell’orbita ellittica e sono determinati dalla posizione e dalla direzione in cui il satellite è sganciato dal suo lanciatore.
Comunque l’equazione (3) non descrive il moto del satellite in modo preciso, poiché alcune ambiguità sono causate dalle forze gravitazionali solari e lunari e dal fatto che la Terra non è perfettamente sferica. Questa è la ragione per cui le stazioni di controllo di GPS e Galileo caricano una versione aggiornata dei parametri orbitali kepleriani del satellite, cioè a ed e, tipicamente ogni due ore.
Dopo aver localizzato il satellite nella sua orbita, l’argomento del perigeo w, la longitudine del nodo ascendente Ω e l’inclinazione dell’orbita i sono usati per trasformare la posizione del satellite nel sistema ECI usando un insieme di rotazioni come mostrato in Figura 6. Questi parametri sono trasmessi dai satelliti GPS e Galileo come parte del messaggio delle effemeridi.
I satelliti Glonass, invece, non trasmettono alcun parametro kepleriano nelle effemeridi del messaggio di navigazione. Essi trasmettono semplicemente la posizione e la velocità del satellite in un periodo di tempo specificico nel sistema ECEF.
Ruotando l’equazione differenziale (4) dal sistema ECI all’ECEF e aggiornandola per tenere in conto delle armoniche sferiche e delle forze gravitazionali del sole e della luna, il ricevitore può stimare la posizione del satellite in un intervallo temporale di 30 minuti attorno al periodo di riferimento.
I metodi numerici di Runge-Kutta del quarto ordine sono normalmente usati dai ricevitori Glonass per determinare la posizione del satellite in un arco di 30 minuti basandosi sull’equazione differenziale del moto e la posizione e velocità del satellite in ECEF nel periodo di riferimento. Anche le accelerazioni gravitazionali solari e lunari sono trasmesse come parte delle effemeridi dei satelliti Glonass.
